Question

2．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM于点D，BE⊥CM于点E．
（1）如图①，试写出AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，试写出AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图①根据余角的性质得到∠DAC=∠ECB，根据全等三角形的性质得到AD=CE，DC=EB，等量代换得到结论；
（2）如图②，根据余角的性质得到∠DAC=∠ECB，根据全等三角形的性质得到AD=CE，DC=EB，等量代换得到结论．

解答 解：（1）如图①DE=AD+BE，
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴AD=CE，DC=EB，
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）如图2，DE=AD-BE，理由是：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCD=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAD}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

点评 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．