题目内容
【题目】设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，2)，B（﹣
，﹣1），C(
，﹣1).
（1）已知点D（2，2），E（
，1），F（
，﹣1）.在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是 ；
（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°.
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）
（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为
.当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒.是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）E,F;（2）①0≤m≤
，②﹣ 
≤b≤2；（3）存在，t=
【解析】试题解析：（1）根据等边三角形的中心关联点的定义，可得 点E、F 是等边三角形的中心关联点；
（2）①依题意A（0，2），M（
，0）可求得直线AM的解析式为
，所以△OAE为等边三角形，所以AE边上的高长为
.当点P在AE上时， 
≤OP≤2.所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点.所以0≤m≤
;
②同①得﹣
≤b≤2;
（3）t=
解：（1）E,F;
（2）①解：依题意A（0，2），M（
，0）.
可求得直线AM的解析式为
.
经验证E在直线AM上.
因为OE=OA=2，∠MAO=60°，
所以△OAE为等边三角形，
所以AE边上的高长为
.
当点P在AE上时， 
≤OP≤2.
所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点.
所以0≤m≤
;
②﹣
≤b≤2;
（3）t=
