Question

2．已知|a-1|+（b-2）²=0．
（1）求a，b的值．
（2）在第①题的条件下，求
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2015）（b+2015）}$的值．
（3）在第①题的条件下，请猜想下式的值为多少？
（1-$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}$+…+$\frac{1}{a+2014}-\frac{1}{a+2015}$）÷（$\frac{1}{b+1007}+\frac{1}{b+1008}$+…+$\frac{1}{b+2014}$）

Answer 1

分析 （1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）把a与b的值代入原式，利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）把a与b的值代入原式，变形后计算即可得到结果．

解答 解：（1）∵|a-1|+（b-2）²=0，
∴a=1，b=2；
（2）把a=1，b=2代入得：原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$；
（3）原式=（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）÷（$\frac{1}{1009}$+$\frac{1}{1010}$+…+$\frac{1}{2016}$）
=[（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2007}$+$\frac{1}{2008}$）-2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2008}$）]÷（$\frac{1}{1005}$+$\frac{1}{1006}$+$\frac{1}{1007}$+…+$\frac{1}{2008}$）
=[（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2007}$+$\frac{1}{2008}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{1004}$）]÷（$\frac{1}{1005}$+$\frac{1}{1006}$+$\frac{1}{1007}$+…+$\frac{1}{2008}$）
=（$\frac{1}{1005}$+$\frac{1}{1006}$+…+$\frac{1}{2007}$+$\frac{1}{2008}$）]÷（$\frac{1}{1005}$+$\frac{1}{1006}$+$\frac{1}{1007}$+…+$\frac{1}{2008}$）
=1．

点评 此题考查了代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．