Question

20．直角三角形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为一边在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为2或$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；
③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．

解答 解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=1+1=2；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，

连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△BAC中，BC=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=ACsin45°=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
又∵在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
综上所述：BD的长等于2或$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案是：2或$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题时注意分类讨论，不要漏掉所有可能的情况．