Question

6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=2时，求劣弧AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用同弧所对的圆周角相等确定出所求角度数即可；
（2）由AB为圆的直径，确定出所对的圆周角为直角，再由∠ABC度数求出∠BAC度数，进而求出∠BAE为直角，即可得证；
（3）连接OC，由OB=OC，且∠BOC=60°，确定出三角形OBC为等边三角形，进而求出∠AOC度数，利用弧长公式求出弧AC的长即可．

解答 （1）解：∵∠ABC与∠D都是$\widehat{AC}$所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；

（2）证明：∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，
∵AE经过半径OA的外端点A，
∴AE为圆O的切线；

（3）解：如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB=BC=2，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
则$\widehat{AC}$的长为$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 此题考查了切线的判定，以及弧长的计算，涉及的知识有：圆周角定理，外角性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．