Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积。

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）矩形PMNQ的周长=﹣2m2﹣8m+2；（3）m=﹣2，S=.

【解析】

试题（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；

（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；

试题解析：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．

令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，

解得，x=﹣3或x=l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1．

∵M（m，0），

∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周长最大时，m=﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式y=kx+b，

∴，解得k=l，b=3，

∴解析式y=x+3，令x=﹣2，则y=1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM×EM=.