Question

如图，已知：AC=BC，AC⊥BC，AE⊥CF，BF⊥CF，C、E、F分别为垂足，且∠BCF=∠ABF，CF交AB于D．
（1）判断△BCF≌△CAE，并说明理由．
（2）判断△ADC是不是等腰三角形？并说明理由．

Answer 1

（1）解：△BCF≌△CAE．
理由如下：∵AC⊥BC，AE⊥CF，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
∵AE⊥CF，BF⊥CF，
∴∠AEC=∠F=90°，
在△BCF和△CAE中，
∵，
∴△BCF≌△CAE（AAS）；

（2）解：△ADC是等腰三角形．
理由如下：∵AC⊥BC，BF⊥CF，
∴∠ACB=∠F=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠BDF+∠ABF=90°，
∵∠BCF=∠ABF，
∴∠ACD=∠BDF，
又∵∠BDF=∠ADC（对顶角相等），
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
故△ADC是等腰三角形．
分析：（1）根据直角三角形两锐角互余可以推出∠CAE=∠BCF，然后利用“角角边”即可证明；
（2）根据等角的余角相等可得∠ACD=∠BDF，再根据对顶角相等可得∠BDF=∠ADC，从而得到∠ACD=∠ADC，再根据等角对等边的性质可得AC=AD，从而得证．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，等角对等边的性质，是基础题，难度不大，（1）中求出∠CAE=∠BCF是解题的关键．