Question

5．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，其顶角的平分线AD交⊙O于D，交BC于E，连接BD，DC．
（1）证明△ABE∽△CDE；
（2）若DE=3，BC=8，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由三线合一性质得到AD垂直于BC，且BE=CE，求出CE的长，在直角三角形EDC中，利用勾股定理求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出sin∠BCD的值，即为sin∠BAD的值．

解答 （1）证明：∵∠BAD与∠BCD都对$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE；
（2）解：∵△ABC是⊙O的内接等腰三角形，其顶角的平分线AD交⊙O于D，
∴AD⊥BC，BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△EDC中，DE=3，CE=4，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴sin∠BCD=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠BAD=∠BCD，
∴sin∠BAD=sin∠BCD=$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．