Question

观察二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，下列四个结论：
①4ac-b²＞0；②4a+c＜2b；③b+c＜0；④n（an+b）-b＜a（n≠1）．
正确结论的个数是（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b²-4ac的取值范围，根据图象和x=-2的函数值即可确定4a-2b+c的取值范围，根据b、c的取值范围可以确定b+c＜0是否成立．根据二次函数的最值问题得到an²+bn+c＜a+b+c（n≠-1），即n（an+b）-b＜a，则可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，4ac-b²＜0，故①错误．
根据图象知道当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，4a+c＜2b，故②正确；
∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1=-

b

2a

，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，b+c＞0，故③错误；
∵x=1时，函数值有最大值a+b+c，
∴an²+bn+c＜a+b+c（n≠-1），
∴n（an+b）-b＜a，所以④正确．
故选：C．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法．