Question

1．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+x的顶点为A，经过原点O，与x轴的另一个交点为B．在抛物线上求点M，使△AOB的面积是△MOB面积的2倍．

Answer 1

分析 设M（t，-$\frac{1}{4}$t²+t），通过解方程-$\frac{1}{4}$x²+x=0可得到B（4，0），再把解析式配成顶点式得到A（2，1），则根据三角形面积公式得到S_△AOB=2，由于△AOB的面积是△MOB面积的2倍，所以$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{1}{4}$t²+t|=$\frac{1}{2}$×2，然后解方程-$\frac{1}{4}$t²+t=$\frac{1}{2}$和方程-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{2}$求出t的值即可得到M点坐标．

解答 解：设M（t，-$\frac{1}{4}$t²+t），
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²+x=0，解得x₁=0，x₂=4，则B（4，0），
而y=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，则A（2，1），
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
因为△AOB的面积是△MOB面积的2倍，
所以$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{1}{4}$t²+t|=$\frac{1}{2}$×2，
则-$\frac{1}{4}$t²+t=$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{2}$，
解方程-$\frac{1}{4}$t²+t=$\frac{1}{2}$得t₁=2+$\sqrt{2}$，t₂=2-$\sqrt{2}$，此时M点坐标为（2+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）；
解方程-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{2}$得t₁=2+$\sqrt{6}$，t₂=2-$\sqrt{6}$，此时M点坐标为（2+$\sqrt{6}$，-$\frac{1}{2}$）或（2-，-$\frac{1}{2}$）；
所以满足条件的M点的坐标为（2+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2+$\sqrt{6}$，-$\frac{1}{2}$）或（2-，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．