Question

3．如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，已知：DE∥AC，DF∥BC．
（1）判断四边形DECF的形状并说明理由；
（2）若BD=BC，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠ABC的平分线（写出作法并说明理由）；
（3）当AC=6cm，BC=4cm，∠ACB=60°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可解答；
（2）连接CD与EF相交于点O，根据平行四边形的对角线互相平分，O为CD的中点，再根据等腰三角形的性质（三线合一），连接BO，BO即为∠ABC的角平分线；
（3）根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出高h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．

解答 解：（1）∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
（2）如图1，

连接CD与EF相交于点O，连接BO，BO即为∠ABC的角平分线，
理由：∵四边形DECF是平行四边形，
∴O是DC中点，
又∵DB=CB，
∴BO就是∠ABC的平分线；
（3）作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，如图2，

∵∠ACB=60°，AC=6cm
∴AG=AC•sin60°=$6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=3$\sqrt{3}$-h，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{AH}{AG}$，
∴$\frac{x}{4}=\frac{3\sqrt{3}-h}{3\sqrt{3}}$，
∴x=$4（1-\frac{h}{3\sqrt{3}}）$，
∵S=xh=4h-$\frac{4}{3\sqrt{3}}{h}^{2}$，
∴h=-$\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2（-\frac{4}{3\sqrt{3}}）}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵AH=3$\sqrt{3}$，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值，关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．