Question

【题目】如图，在中，，平分．

（1）尺规作图：作线段的垂直平分线；（要求：保留作图痕迹，不写作法）

（2）记直线与，的交点分别是点，，连接求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线l即可．
（2）想办法证明∠ECF=∠EFC=15°，根据等角对等边，EF=EC即可解决问题．

解：（1）如下图所示，直线l为线段AB的垂直平分线，

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=AB，∠A=60°．

∵EF是AB的垂直平分线，

∴AE=AB，∠AEF=90°，

∴AE=AC，

∴△AEC是等边三角形，

∴∠AEC=∠ACE=60°，

∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ECA﹣∠FCA=15°，

∴∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=15°=∠ECF，

∴EF=EC．