Question

【题目】如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．

求直线的函数关系式；

点是上的一点，若的面积等于的面积的倍，求点的坐标．

设点 的坐标为 ，是否存在 的值使得 最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x-2；（2）（ ，）或（， ）；（3）（，3）．

【解析】

（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；
（2）设点P的坐标为（t， t-2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；
（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．

解：（1）由题知：

解得：

，
故直线l2的函数关系式为：y=x-2；
（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t-2）．
解方程组 ，得 ，
∴点D的坐标为（，-）．
∵S△ABP=2S△ABD，
∴AB|t-2|=2×AB|-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，
∴点P的坐标为（ ，）或（， ）；
（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．

由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．
∵点A（3，0），
∴A′（3，6）
∵点B（6，0），
∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．
∵点Q（m，3）在直线A′B上，
∴3=-2m+12
解得：m=，
故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．