Question

如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B?A，B?C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM= _________ 厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）PM=;(2)当t=2时，使△PNB∽△PAD，相似比为2：3;（3）3＜a≤6;（4）∵3＜a≤6时，当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

试题分析：（1）要想求出PM的长度,可以利用△ANB∽△APM得到比例,当t=1时，MB=1，NB=1，AM=3，∴PM=;（2）当△PNB∽△PAD时,可以得到比例,∵△ANB∽△APM,∴，∴,可以求出t;（3）要判断两个梯形的面积是否相等,只需要把各自的面积表示出来,得到方程,方程有解,则存在,由题,△AMP∽△ABN，∴,即，∴PM=，∵PQ=3﹣，当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即，化简得t=，∵t≤3，∴3＜a≤6;（4）由(2)知道,当3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，将两个梯形的面积表示出来,得到方程,方程有解,则a存在,则CN=PM，∴=3﹣t，得t²﹣2at+3a=0，把t=代入，得9a³﹣108a=0，∵a≠0，∴9a²﹣108=0，∴a=±2，∴a=2,当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．
试题解析：（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3，
∵PM∥BN,
∴△ANB∽△APM，
∴，
∴PM=;
（2）由题,∵△PNB∽△PAD，
∴，
∵△ANB∽△APM,
∴，
∴,
∴t=2，相似比为2：3;
（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，
∴△AMP∽△ABN，
∴,即，
∴PM=，
∵PQ=3﹣，
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即==，
化简得t=，
∵t≤3，
∴≤3，
则a≤6，
∴3＜a≤6;
（4）由(2)知道,当3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴=3﹣t，
两边同时乘以a，得at﹣t²=3a﹣at，
整理，得t²﹣2at+3a=0，
把t=代入，整理得9a³﹣108a=0，
∵a≠0，
∴9a²﹣108=0，
∴a=±2，
∴a=2,
∴存在a，当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．