Question

（2011•长宁区一模）已知平行四边形ABCD，设

BC

=

m

，

BA

=

n

，点P、Q分别是对角线AC、BD的点，且

AP

=

1

2

AO

，

OQ

=

1

2

OD

，试用

m

、

n

分别表示

PO

、

OQ

、

PQ

．

Answer 1

分析：连接PQ，利用三角形AOD的中位线定理和平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质推知PQ∥AD∥BC且2PQ=AD=BC；然后根据平面向量的几何意义以及向量的三角形法则解答即可．

解答：解：连接PQ．
∵点P、Q分别是对角线AC、BD的点，且

AP

=

1

2

AO

，

OQ

=

1

2

OD

，
∴点P、Q分别是AO、DO的中点，
∴PQ∥AD∥BC且2PQ=AD=BC，
∴

PQ

=

1

2

m

；
∵

AC

=

BC

-

BA

=

m

-

n

；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴

PO

=

AP

=

1

4

AC

=

1

4

（

m

-

n

）；
∵

BD

=

BA

+

BC

=

m

+

n

，
∴

OQ

=

1

2

OD

=

1

2

×

1

2

BD

=

1

4

（

m

+

n

）．

点评：本题考查了平面向量的线性运算．把向量同解三角形结合的问题，均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题．