Question

如图，AB是⊙O直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过A作⊙O的切线DA，DA与OE的延长线交于点D，连接DC，BC．
（1）填空：OE与BC的位置关系是

 

．OE与BC的数量关系是

 

．
（2）求证：DC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）由OE⊥AC，易得OE是△ABC的中位线，则可求得OE与BC的位置与数量关系；
（2）首先连接OC，由OE⊥AC，易得∠AOD=∠COD，则可证得△DAO≌△DCO，继而证得∠DCO=∠DAO=90°，即可得DC是⊙O的切线．

解答：解：（1）∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，OE=

1

2

BC；
故答案为：OE∥BC，OE=

1

2

BC；

（2）连接OC，设OD与⊙O交于点F，
∵DA是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
即∠DAO=90°，
∵OE⊥AC，
∴

AF

=

FC

，
∴∠AOD=∠COD，
在△DAO和△DCO中，

OA=OC ∠AOD=∠COD OD=OD

，
∴△DAO≌△DCO（SAS），
∴∠DCO=∠DAO=90°，
∴DC是⊙O的切线．

点评：此题考查了切线的性质与判定、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．