Question

10．已知如图：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q是半圆上一动点（不与A、B重合），连接PQ，交⊙O于点C．下列结论：①∠QAP=∠BCP；②$\frac{CP}{QP}$=$\frac{BP}{AP}$；若点Q为劣弧$\widehat{AC}$的中点，则C是PQ的中点；④若点Q与C重合时，则PQ=2$\sqrt{3}$．其中正确的是①③④0（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 根据圆内接四边形的性质即可得到∠QAP=∠BCP，故①正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$，故②错误；连接OQ，根据垂径定理得到OQ⊥AC，推出OQ∥BC，于是得到C是PQ的中点；故③正确；若点Q与C重合时，PQ=PC，于是得到PQ²=PA•PB，代入数据即可得到PQ=2$\sqrt{3}$，故④正确．

解答 解：∵四边形ABCQ是圆内接四边形，
∴∠QAP+∠BCQ=180°，
∵∠BCQ+∠BCP=180°，
∴∠QAP=∠BCP，故①正确；
∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PQA，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$，故②错误；
连接OQ，
∵点Q为劣弧$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{CQ}$，
∴OQ⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∴OQ∥BC，
∵PB=OB，
∴PC=CQ，
∴C是PQ的中点；故③正确；
∵若点Q与C重合时，PQ=PC，
∵$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$，
∴PQ²=PA•PB，
∵BP=OB=2，
∴PA=6，
∴PQ=2$\sqrt{3}$，故④正确，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，掌握政策辅助线是解题的关键．