Question

【题目】平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线交轴于两点(如图)，顶点是，对称轴交轴于点

（1）如图(1)求抛物线的解析式；

（2）如图(2)是第三象限抛物线上一点，连接并延长交抛物线于点，连接求证：；

（3）如图(3)在(2)问条件下，分别是线段延长线上一点，连接，过点作于交于点，延长交于，若求点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）设DA=DB=m，根据抛物线对称性和OB=2OA，建立方程求解即可；

（2）配方法可求得抛物线顶点坐标，过点E作EH⊥CD于G，过F作FG⊥CD于G，可证明△DEH∽△DFG，tan∠GFC=tan∠ECH，即可证明∠ECF=90°；

（3）以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG⊥DM于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，设DM=t，则DT=TK=t，易证：△MDC≌△CJI，△MDN≌△SGP，可得：SZ=SL=t-7，CZ=CJ=t，CS=2t-7，利用勾股定理建立方程即可求得点M坐标，再利用相似三角形性质可求得点R坐标，运用待定系数法即可求得直线DR解析式，解方程组可求得点F的坐标．

解：（1）∵抛物线对称轴为：直线x=1，

∴D（1，0），由抛物线对称性知：DA=DB，设DA=DB=m，

则：A（1-m，0），B（1+m，0），

∵OB=2OA

∴1+m=2（m-1），解得：m=3

∴A（-2，0），B（4，0），将A（-2，0）代入，

得，

解得：；

∴抛物线的解析式为：；

（2）如图2，过点E作EH⊥CD于H，过F作FG⊥CD于G，

∵，

∴点C的坐标为：（1，），

设点E（n，），点F（m，），

∴点G为：（1，），点H为：（1，），

∴EH=1-n，FG=m-1，DG=，DH=，

∵EH⊥CD，FG⊥CD

∴∠DHE=∠DGF=90°

∵∠EDH=∠FDG

∴△DEH∽△DFG，

∴，

得，

得

∴；

（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG⊥DM于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，作IL⊥KT于L，作IZ⊥SQ于Z，设DM=t，则DT=TK=t，

∵正方形DMKT，

∴∠DTM=∠KTM=∠DMT=45°

∴四边形TLIJ是正方形，

∴IJ=TJ=TL

∵CI平分∠SCT

∴∠JCI=∠SCT

∵CQ⊥MN

∴∠SCT+∠MND=∠NMD+∠MND=90°

∴∠NMD=∠SCT

∵∠NMD=2∠DMC，

∴∠DMC=∠SCT

∴∠JCI=∠DMC

∴∠JCI+∠DTM=∠DMC+∠DMT

即∠CIM=∠CMI

∴CM=CI

∵∠MDC=∠CJI=90°

∴△MDC≌△CJI（AAS）

∴IJ=CD=3

∴JT=TL=3

在△MDN和△SGP中

∴△MDN≌△SGP（AAS）

∴DN=PG

∵DN+BO=MP，MG+PG=MP

∴MG=BO=4

∴KS=4

∴SL=t-7，

易证：SZ=SL=t-7，CZ=CJ=t，CS=2t-7

在Rt△CST中，∵ST2+CT2=CS2

∴（t-4）2+（t+3）2=（2t-7）2，

解得：t1=12，t2=1（不符合题意，舍去）

∴M（-11，0）；

过点R作RW⊥DM于W，则△MRW∽△MCD

∵MR：RC=7：3，

∴，

∴，

∴，，

∴点R为：（，），

设DR直线为，

则，解得：，

解析式：；

∴解方程组，

解得：，；

∴点E为：（，），点；