Question

如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，DB分别交AN、CM于点P、Q．下列结论：
（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ；（4）S_△ADP=

1

4

S_{平行四边形ABCD}；
其中正确结论是

（1）（2）（3）

．

Answer 1

分析：由在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，易证得四边形AMCN是平行四边形，则可得△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得（1）DP=PQ=QB；易证得△APD≌△CQB，即可得（2）AP=CQ；又由△BMQ∽△BAP，可得AP=2MQ，则可得CQ=2MQ；易证得S_△ADP=

1

6

S_{平行四边形ABCD}．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CN=

1

2

CD，AM=

1

2

AB，
∴CN=AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DCQ，
∴BQ：BP=BM：AB=1：2，DP：DQ=DN：CD，=1：2，
∴DP=PQ，BQ=PQ，
∴DP=PQ=QB；故正确；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，ADBC，
∴∠ADP=∠CBQ，
在△ADP和△CBQ中，

AD=CB ∠ADP=∠CBQ DP=BQ

，
∴△APD≌△CQB（SAS），
∴AP=CQ；故正确；

（3）∵△BMQ∽△BAP，
∴MQ：AP=BQ：BP=1：2，
∴AP=2MQ，
∴CQ=2MQ；故正确；

（4）S_△ADP=

1

3

S_△ABD=

1

3

×

1

2

S_{平行四边形ABCD}=

1

6

S_{平行四边形ABCD}；故错误．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．