Question

5．观察下列各式：1²-0²=1+0=1；2²-1²=2+1=3；3²-2²=3+2=5；4²-3²=4+3=7；…若用字母n表示自然数．
（1）请你把观察出的规律用含n的式子表示出来；
（2）你的猜想正确吗？试用有关的知识加以说明；
（3）求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）的值．

Answer 1

分析 （1）观察给定的等式，根据等式的变化找出规律“（n+1）²-n²=2n+1”；
（2）利用完全平方公式的展开式结合整式的加减运算法则，来证明寻找到的规律成立；
（3）将算式×（2-1），算式的结果不变，结合平方差公式即可得出结论．

解答 解：（1）观察，发现规律：1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7，…，
则（n+1）²-n²=2n+1．
（2）证明：左边=（n+1）²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1=右边，
故（1）的结论正确．
（3）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=2³²-1
=1023．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类、完全平方公式以及平方差公式，解题的关键：（1）找出规律“（n+1）²-n²=2n+1”；（2）熟练的利用完全平方公式来证明结论；（3）将算式×（2-1）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等式的变化找出变化规律是关键．