Question

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，a）在第一象限，点B（0，3），点C（c，0），其中0＜c＜3，∠BAC=90°．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）若a=2，求OC的长；
（3）已知点D在线段OC上，若OB²-OC²=8S_△CAD，四边形OBAD的面积为$\frac{45}{8}$，求a²-a的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）由勾股定理表示出BC²=c²+9，AC²=（2-c）²+4，AB²=1+4=5，根据AB²+AC²=BC²，即5+（2-c）²+4=c²+9，解之可得c的值；
（3）过点A作AE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，由△ACE≌△ABF知BF=CE=3-a、OC=2a-3，根据OB²-OC²=8S_△CAD得CD=3-a、OD=OC-CD=3a-6，最后由S_{四边形OBAD}=S_△OAB+S_△OAD可得关于a的方程，变形可得答案．

解答 解：（1）如图，


（2）若a=2，则A（2，2），
连接BC，则BC²=c²+9，AC²=（2-c）²+4，AB²=1+4=5，
∵∠BAC=90°，
∴AB²+AC²=BC²，即5+（2-c）²+4=c²+9，
解得：c=1，
即OC=1；

（3）过点A作AE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，
则OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，
∵∠CAE+∠ACF=90°，∠BAF+∠CAF=90°，
∴∠CAE=∠BAF，
在△ACE和△ABF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFB}\\{∠CAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴BF=CE=3-a，
∴OC=2a-3，
∵OB²-OC²=8S_△CAD，
∴12a-4a²=8×$\frac{1}{2}$×CD×a，
∴CD=3-a，
∴OD=OC-CD=3a-6，
∵S_{四边形OBAD}=S_△OAB+S_△OAD，
∴$\frac{45}{8}$=$\frac{3}{2}$a+$\frac{1}{2}$（3a-6）a，
∴a²-a=$\frac{15}{4}$

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质及割补法表示多边形的面积是解题的关键．