Question

18．在△ABC中，∠BAC=90°，射线AM∥BC，点D在射线AM上（不与点A重合），连接BD，过点D作BD的垂线交CA的延长线于点P
（1）如图①，若∠C=30°，且AB=DB，求∠APD的度数；
（2）如图②，若∠C=45°，当点D在射线AM上运动时，PD与BD之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接BP，设BP与射线AM的交点为Q，∠AQP=α，∠APD=β，当点D在射线AM上运动时，α与β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）如图①中，首先证明△ABD是等边三角形，推出∠ABD=60°，由∠PDB+∠PAB=180°，推出∠APD+∠ABD=180°，由此即可解决问题．
（2）如图②中，结论：DP=DB．只要证明△DMP≌△DNB即可．
（3）结论：α+β=180°．只要证明∠1=∠3，即可解决问题．

解答 解：（1）如图①中，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵AM∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∵BD=BA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠PDB+∠PAB=180°，
∴∠APD+∠ABD=180°，
∴∠APD=120°．

（2）如图②中，结论：DP=DB．
理由：作DM⊥CP于M，DN⊥AB于N．

∵∠BAC=90°，∠C=45°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵AM∥BC，
∴∠DAM=∠C=45°，∠DAN=∠ABC=45°，
∴AM平分∠BAP，
∵DM⊥CP于M，DN⊥AB于N，
∴DM=DN，
∵∠APD+∠DPM=180°，∠APD+∠DBN=180°，
∴∠DPM=∠DBN，
在△DMP和△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMP=∠DNB}\\{∠DPM=∠DBN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△DNB，
∴DP=DB．

（3）结论：α+β=180°．
理由：如图③中，

由（2）可知，∠DAP=∠DAB=45°，
∵∠PDB+∠BAP=180°，
∴A、B、D、P四点共圆，
∴∠DPQ=∠BAQ=45°，
∵∠1=∠2+∠DPB=∠2+45°，
∠3=∠2+∠DAP=∠2+45°，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠APD=180°，
∴∠1+∠APD=180°，
即α+β=180．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，题目有点难，用了四点共圆，证明角相等，属于中考压轴题．