Question

8．在△ABC与△ADF中，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，DF的延长线交BC于点E，连接DB、CF．
（1）如图1，当点C、A、D三点在同一直线上，且AC=$\sqrt{3}$AF，AF=$\sqrt{2}$时，求CE的长；
（2）如图2，当∠AFC=90°时，求证：E是BC的中点；
（3）如图3，若CF平分∠ACB，且CF的延长线与DB交于点G，请直接写出BG、DG、FG之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADF中，求出DF，在Rt△EDC中求出DE即可解决问题．
（2）如图2中，连接AM、AE、ME，延长CF交BD于M．首先证明四边形ADMF是正方形，再证明A、M、B、C四点共圆，根据垂径定理推论，即可证明．
（3）结论：GD+GF=$\sqrt{2}$BG．首先证明四边形AMGN是矩形，由A、G、B、C四点共圆，推出∠AGO=∠ABC=45°，∠GBA=∠ACG，∠GAB=∠BCG，由∠BCG=∠ACG，推出∠GBA=∠GAB，推出BG=AG，由△AMD≌△ANF，推出DM=FN，可得GD+GF=MG-DM+GN=FN=2GM=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\sqrt{2}$BG，即可证明．

解答 （1）解：如图1中，

∵AC=$\sqrt{3}$AF，AF=$\sqrt{2}$，
∴AF=AD=$\sqrt{2}$，AC=AB=$\sqrt{6}$，DC=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵∠DAF=90°，
∴DF=$\sqrt{2}$AD=2，
∵∠C=∠ADF=45°，
∴∠DEC=90°，
∴ED=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DC=1+$\sqrt{3}$，
∴EF=DE-DF=1+$\sqrt{3}$-2=$\sqrt{3}$-1．

（2）证明：如图2中，连接AM、AE、ME，延长CF交BD于M．

∵AD=AF，AB=AC，∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
在△BDA和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDA≌△CFA，
∴AF=AD，∠BDA=∠AFC=90°，
∴四边形ADMF是矩形，∵AD=AF，
∴四边形ADMF是正方形，
∴DE垂直平分AE，
∵∠BAC=∠BMC=90°，
∴A、M、B、C四点共圆，
∵DE垂直平分AM，
∴DE过圆心，
∵∠BAC=90°，
∴圆心在直线BC上，
∴点E就是圆心，
∴BE=EC．
或：过点B作BD的垂线和DE延长线相交于点G，证三角形CEF和BEG全等．

（3）解：结论：GD+GF=$\sqrt{2}$BG．理由如下：
如图3中，作AM⊥BD于M，AN⊥CG于N，AB与CG交于点O．

∵△BDA≌△CFA，
∴∠GBO=∠AOC，
∵∠GOB=∠AOC，
∴∠BGO=∠CAO=90°，
∴∠M=∠MGN=∠ANG=90°，
∴四边形AMGN是矩形，
∵∠BGC=∠BAC=90°，
∴A、G、B、C四点共圆，
∴∠AGO=∠ABC=45°，∠GBA=∠ACG，∠GAB=∠BCG，
∵∠BCG=∠ACG，
∴∠GBA=∠GAB，
∴BG=AG，
∵∠AGM=∠AGN，AM⊥GM，AN⊥GN，
∴AM=AN，
∴四边形AMGN是正方形，
在Rt△AMD和Rt△ANF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△ANF，
∴DM=FN，
∴GD+GF=MG-DM+GN=FN=2GM=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\sqrt{2}$BG，
∴GD+GF=$\sqrt{2}$BG．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，本题的难点是，四点共圆的应用，属于中考压轴题．