Question

5．如图，四边形ABCD是正方形，DE∥AC，CE=AC，EC的延长线DA的延长线交于F，连AE交CD于P，作CG⊥DE于G，则下列结论：①AE平分∠CED；②S_△ADP=S_△EPC；③∠F=∠EAC；④CE=2CG．其中正确的说法有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通过证明∠AED=∠AEC，即可得到AE平分∠CED；根据平行线之间的距离处处相等，即可得到S_△ADC=S_△AEC，进而得到S_△ADP=S_△EPC；通过计算得到∠F=15°，∠CAE=$\frac{1}{2}$ACF=15°，进而得出∠F=∠EAC；根据Rt△CEG中，∠CEG=30°，即可得出CE=2CG．

解答 解：∵DE∥AC，CE=AC，
∴∠AED=∠CAE，∠AEC=∠CAE，
∴∠AED=∠AEC，
即AE平分∠CED，故①正确；
∵AC∥DE，
∴S_△ADC=S_△AEC，
∴S_△ADC-S_△APC=S_△AEC-S_△APC
即S_△ADP=S_△EPC，故②正确；
∵∠CDG=∠ACD=45°，CG⊥DE，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∵Rt△ACD中，AC=$\sqrt{2}$CD，Rt△CDG中，CD=$\sqrt{2}$G，
∴AC=2CG，即CE=2CG，
∴Rt△CEG中，∠CEG=30°，
∴∠ACF=∠CEG=30°，
又∵∠CAD=45°，
∴∠F=∠CAD-∠ACF=45°-30°=15°，
又∵∠CAE=$\frac{1}{2}$ACF=15°，
∴∠F=∠EAC，故③正确；
∵Rt△CEG中，∠CEG=30°，
∴CE=2CG，故④正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题时注意：正方形两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．