Question

如图，P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P₃，P₄，…，P_n，…，记纸板P_n的面积为S_n，试通过计算S₁，S₂，猜想得到S_n-1-S_n=

 

（n≥2）．

Answer 1

分析：由P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，得到S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²．同理可得S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，它们的差即可得到．

解答：解：根据题意得，n≥2．
S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，
S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²，
…
S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，
S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，
∴S_n-1-S_n=

1

2

π×（

1

2

）^2n-2=（

1

2

）^2n-1π．
故答案为（

1

2

）^2n-1π．

点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR²．以及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般．