Question

如图，P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P₃，P₄，…，P_n，…记纸板P_n的面积为S_n，试计算求出S₂=

3

8

π

；S₃=

11

32

π

；并猜想得到S_n-S_n-1（n≥2）．

Answer 1

分析：由P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，得到S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²．同理可得S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，它们的差即可得到．

解答：解：S₂=

1

2

π-

1

2

π×

1

2

=

3

8

π，
S₃=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²=

11

32

π；
S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，
S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π[（

1

2

）^n-1]²，
∴S_n-S_n-1=

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²=（

1

2

）^2n-1π．
故答案为：

3

8

π，

11

32

π．

点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR²，及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般，找出规律是解答的基础．