Question

【题目】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，年销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）

（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）

（2）试写出第一年年获利z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）

（3）请说明第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价

（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内

Answer 1

【答案】（1）y=－x+30；（2）；（3）第一年公司亏损了，当商品售价定为170元/件时，亏损最小，最小亏损为310万元；（4）当120≤x≤220时，获利≥1130，所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内

【解析】

（1）根据题意当销售单价定位x元时，年销售量减少万件，然后据此进一步求出关系式即可；

（2）利用年获利=年销售额－生产成本－投资列出函数关系式进一步化简即可；

（3）对（2）中的关系式进行因式分解，然后进一步求解即可；

（4）在（3）的基础上对第二年的年获利情况列出关系式，然后得出图像进一步求解即可.

（1）由题意得：当销售单价定位x元时，年销售量减少万件，

∴==－x+30，

∴y与x之间的函数关系式是：y=－x+30；

（2）由题意得：，

∴z与x之间的函数关系式为：；

（3）由（2）得：，

即：，

∴，∴第一年亏损了，

当时，取得最大值，最大值为万元，

∴第一年公司亏损了，当商品售价定为170元/件时，亏损最小，最小亏损为310万元

（4）当第二年的销售单价定为x元时，

年获利，

当时，

整理得：，

解得：，，

∴函数的图像大致如图所示：

由图象可以看出：当120≤x≤220时，获利≥1130，

∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．