Question

如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.

(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.

(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.

Answer 1

【解析】(1)连接AD.

∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,

∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,

又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,

∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,

∵∠BDP+∠ADP=90°,

∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,

∴△PDQ为等腰直角三角形.

(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:

由(1)知△ABD为等腰直角三角形,

当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,

又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,

∴四边形APDQ为矩形,

又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.