Question

如图，B是线段AD上的一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接AE、CD，点P、Q分别是AE、CD的中点，判断△PBQ的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：先根据等边三角形的性质得出AB=CB，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°，那么∠ABE=∠CBD，由SAS证明△ABE≌△CBD，得到AE=CD，∠EAB=∠DCB．由点P、Q分别是AE、CD的中点，得出AP=CQ．再由SAS证明△ABP≌△CBQ，然后根据等边三角形的判定定理解答即可．

解答： 解：△PBQ是等边三角形．理由如下：
∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB=CB，BE=BD，
∴∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD．
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB．
∵点P、Q分别是AE、CD的中点，
∴AP=

1

2

AE，CQ=

1

2

CD，
∴AP=CQ．
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠PAB=∠QCB AP=CQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴∠PBA=∠QBC，PB=QB，
∴∠QBP=∠QBC-∠PBC=∠PBA-∠PBC=∠ABC=60°，
∴△PBQ是等边三角形．

点评：此题考查的是全等三角形、等边三角形的判定及性质，难度适中．证明出△ABE≌△CBD，进而得出得出AP=CQ是解题的关键．