Question

5．如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是?ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠F}&{\;}\\{∠D=∠ECF}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在?ABCD中，AD=BC=5，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=2DE=8．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．