Question

20．已知抛物线y=a（x-1）²-3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，-2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，根据抛物线的解析式即可求出点B的坐标．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，然后将点A与B的坐标代入即可求出k与b的值．
（3）由于AB的长度是可求出的，所以△PAB的周长取最小值时，只需要PA+PB最小即可．

解答 解：（1）将A（0，-2）代入y=a（x-1）²-3，
∴-2=a-3
∴a=1
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）²-3
∴顶点B（1，-3）

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将点A（0，-2）和B（1，-3）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{-3=k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为：y=-x-2

（3）设点A关于x轴对称的点为C，
∴C（0，2）
设直线CB的解析式为：y=mx+n，
直线CB与x轴点P，此时△PAB的周长取最小值，
把C（0，2）和B（1，-3）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=n}\\{-3=m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=2}\end{array}\right.$
∴直线CB的解析式为：y=-5x+2
令y=0代入y=-5x+2，
∴x=$\frac{2}{5}$
∴点P的坐标为（$\frac{2}{5}$，0）

点评 本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是利用待定系数法求出解析式，本题属于中等题型．