Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点.

（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；（用含有的代数式表示）

（2）连接.

①若平分，求二次函数的表达式；

②连接，若平分，求二次函数的表达式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②

【解析】

（1）令y=0，解关于x的方程，解方程即可求出x的值，进而可得点B的坐标；把抛物线的解析式转化为顶点式，即可得出点D的坐标；

（2）①如图1，过点作，交于点，作DF⊥y轴于点F，则易得点C的坐标与CF的长，利用BH的长和∠B的正切可求出HE的长，进而可得DE的长，由题意和平行线的性质易推得，然后可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，进而可得答案；

（3）如图2，过点B作BK∥y轴，过点C作CK∥x轴交BK于点K，交DH于点G，连接AE，利用锐角三角函数、抛物线的对称性和等腰三角形的性质可推出，进而可得，然后利用勾股定理可得关于m的方程，解方程即可求出m，问题即得解决.

解：（1）令y=0，则，

解得：，

∴点的坐标为；

∵，

∴点的坐标为；

故答案为：，；

（2）①如图1，过点作于点H，交于点，作DF⊥y轴于点F，则，，DF=m，CF=，

∵平分，

∴∠BCO=∠BCD，

∵DH∥OC，

∴∠BCO=∠DEC，

∴∠BCD=∠DEC，

∴，

∵，BH=2m，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：（舍去），

∴二次函数的关系式为：；

②如图2，过点B作BK∥y轴，过点C作CK∥x轴交BK于点K，交DH于点G，连接AE，

∵，

∴，

∴，

∵EA=EB，

∴∠3=∠4，

又∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

即，

解得：（舍去），

∴二次函数的关系式为：.