Question

【题目】已知抛物线.

（1）当，时，求抛物线与轴的交点个数；

（2）当时，判断抛物线的顶点能否落在第四象限，并说明理由；

（3）当时，过点的抛物线中，将其中两条抛物线的顶点分别记为，，若点，的横坐标分别是，，且点在第三象限.以线段为直径作圆，设该圆的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）抛物线与轴有两个交点；（2）抛物线的顶点不会落在第四象限，理由详见解析；（3）.

【解析】

（1）将，代入解析式，然后求当y=0时，一元二次方程根的情况，从而求解；（2）首先利用配方法求出顶点坐标，解法一：假设顶点在第四象限，根据第四象限点的坐标特点列不等式组求解；解法二：设，，则，分析一次函数图像所经过的象限，从而求解；（3）将点代入抛物线，求得a的值，然后求得抛物线解析式及顶点坐标，分别表示出A，B两点坐标，并根据点A位于第三象限求得t的取值范围，利用勾股定理求得的函数解析式，从而求解.

解：（1）依题意，将，代入解析式

得抛物线的解析式为.

令，得，，

∴抛物线与轴有两个交点.

（2）抛物线的顶点不会落在第四象限.

依题意，得抛物线的解析式为，

∴顶点坐标为.

解法一：不妨假设顶点坐标在第四象限，

则，解得.

∴该不等式组无解，

∴假设不成立，即此时抛物线的顶点不会落在第四象限.

解法二：设，，则，

∴该抛物线的顶点在直线上运动，而该直线不经过第四象限，

∴抛物线的顶点不会落在第四象限.

（3）将点代入抛物线：，

得，

化简，得.

∵，∴，即，

∴此时，抛物线的解析式为，

∴顶点坐标为.

当时，，∴.

当时，，∴.

∵点在第三象限，∴

∴.

又，，

∴点在点的右上方，

∴.

∵，

∴当时，随的增大而增大，

∴.

又.

∵,

∴随的增大而增大，

∴.