如图1.正方形ABCD中.点E是AB边上一动点.点E到达点A时运动停止.点F是射线BC上一点．且∠EFB=30°.设BE=x.△BEF与正方形ABCD重叠部分的面积为S.S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤m.m＜x≤3时．函数的解析式不同)．(1)填空:正方形ABCD的边长为3.图2中b的值为$\frac{3}{2}\sqrt{3}$,(2)求S关于x的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，正方形ABCD中，点E是AB边上一动点（点E与点B不重合），点E到达点A时运动停止，点F是射线BC上一点．且∠EFB=30°，设BE=x，△BEF与正方形ABCD重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤3时．函数的解析式不同）．
（1）填空：正方形ABCD的边长为3，图2中b的值为$\frac{3}{2}\sqrt{3}$；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

分析（1）由图2可知，当x=BE=3时，S有最大值，此时，点E与点A重合，据此可得正方形ABCD的边长，由图2可知，当x=m时，点F与点C重合，此时，BF=BC=3，BE=tan30°×3=$\sqrt{3}$，据此可得b的值；
（2）分两种情况：当0＜x≤$\sqrt{3}$时，点F在线段BC上，此时，△BEF与正方形ABCD重叠部分即为△BEF；当$\sqrt{3}$＜x≤3时，点F在BC的延长线上，此时，△BEF与正方形ABCD重叠部分为梯形BCGE，根据△BEF与正方形ABCD重叠部分的面积的表示方法，可得S关于x的函数关系式．

解答解：（1）由图2可知，当x=BE=3时，S有最大值，
此时，点E与点A重合，即BE=BA=3，
∴正方形ABCD的边长为3，
由图2可知，当x=m时，点F与点C重合，
此时，BF=BC=3，BE=tan30°×3=$\sqrt{3}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
即当m=$\sqrt{3}$时，b=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
故答案为：3，$\frac{3}{2}\sqrt{3}$；

（2）如图1，当0＜x≤$\sqrt{3}$时，点F在线段BC上，
此时，△BEF与正方形ABCD重叠部分即为△BEF，
∵BE=x，∠EFB=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$BE×BF=$\frac{1}{2}$×x×$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$（0＜x≤$\sqrt{3}$），
如图3，当$\sqrt{3}$＜x≤3时，点F在BC的延长线上，
此时，△BEF与正方形ABCD重叠部分为梯形BCGE，
∵BE=x，∠EFB=30°，BC=3，
∴BF=$\sqrt{3}$x，CF=$\sqrt{3}$x-3，
∴Rt△CFG中，CG=x-$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{（CG+BE）BC}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{3}$+x）×3=3x-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$＜x≤3），
综上所述，S关于x的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}（0＜x≤\sqrt{3}）}\\{3x-\frac{3}{2}\sqrt{3}（\sqrt{3}＜x≤3）}\end{array}\right.$．