Question

4．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点D，E，与AB分别交于点G，H，且DG的延长线和CB的延长线交于点F，分析下列四个结论：
①HG=2；②BG=BF；③AH=BG=$\sqrt{2}$-1；④CF=$\sqrt{2}$+1．其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 如右图所示，连接OD、OE，根据切线的性质得到∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，据等腰直角三角形的性质得到∠C=90°，∠A=45°，得到四边形DCEO是正方形，求得OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，于是得到HG=2OD=2；故①正确；求得∠EOB=45°，得到∠ODG=135°，得到∠OGD=∠ODG=22.5°，根据等腰三角形的性质得到BG=BF，故②正确；根据角平分线的判定定理得到O在∠ACB的角平分线上，根据等腰三角形的性质得到O是AB中点，求得AD=CD=OD=OE=1，得到OG=1，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，于是得到AH=BG=$\sqrt{2}$-1，故③正确；CF=2+BF=$\sqrt{2}$+1．故④正确．

解答 解：如右图所示，连接OD、OE，
∵⊙O与AC、BC切于点D、E，
∴∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，∠A=45°，
∴四边形DCEO是正方形，
∴OD∥BC，OE=OD，OD⊥AC，
△ADO是等腰直角三角形，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴HG=2OD=2；故①正确；

∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠EOB=45°，
∴∠ODG=135°，
∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=22.5°，
∴∠BGF=22.5°，
∵∠BGF+∠F=∠ABC=45°，
∴∠F=22.5°，
∴BG=BF，故②正确；

∵OE=OD，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴O是AB中点，
∴AD=CD，
又∵AC=2，
∴AD=CD=OD=OE=1，
∴OG=1，
又∵AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴BG=OB-OG=$\sqrt{2}$-1，
同理AH=BG=$\sqrt{2}$-1，故③正确；
∴CF=2+BF=$\sqrt{2}$+1．故④正确．
故选D．

点评 本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、切线的性质．解题的关键是构造正方形DCEO．