Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.

①若点在线段上（不与点，重合），连接，求面积的最大值.

②设的长为，是否存在，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】

（1）把，带入即可求得解析式；

（2）先用含m的代数式表示点P、M的坐标，再根据三角形的面积公式求出PCM的面积和m的函数关系式，然后求出PCM的最大值；

（3）由平行四边形的性质列出关于t的一元二次方程，解方程即可得到结论

解：（1）∵抛物线过点、点，

∴解得

∴抛物线的解析式为.

（2）∵抛物线与轴交于点，

∴可知点坐标为.

∴可设直线的解析式为.

把点代人中，得，

∴.

∴直线的解析式为.

①∵轴，

∴.

设，则，且.

∴，

∴.

∴.

∴当时，的面积最大，最大值为.

②存在.

由题可知，.

∴当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.

已知的长为，所以，.

∴.

∴当时，

解得（不符合题意，舍去），；

当时，，

∴此方程无实数根.

综上，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.