Question

【题目】已知：二次函数y＝ax2+bx+（a＞0，b＜0）的图象与x轴只有一个公共点A．

（1）当a＝时，求点A的坐标；

（2）求A点的坐标（只含b的代数式来表示）；

（3）过点A的直线y＝x+k与二次函数的图象相交于另一点B，当b≥﹣1时，求点B的横坐标m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）;（2）（﹣，0）;（3）m≥3．

【解析】

（1）由二次函数y=ax2+bx+（a＞0，b＜0）的图象与x轴只有一个公共点A，推出△=b2-4a×=b2-2a=0，再根据a=，代入求出b即可；
（2）令y=0，求出x的值即可得出A点坐标；

（3）构建方程组求出点B的横坐标，利用二次函数的性质即可解决问题；

解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+（a＞0，b＜0）的图象与x轴只有一个公共点，

∴b2﹣4a×＝0，

即：b2＝2a，

当a＝时，b2＝1，

又∵b＜0，

∴b＝﹣1，

∴二次函数的关系式为：y＝x2﹣x+，

当y＝0时，x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝1，

∴点A（1，0），

（2）∵b2＝2a，（a＞0，b＜0），

∴b＝﹣

当y=0时，ax2+bx+＝0，

∴x＝＝＝﹣，

∴点A的坐标为（﹣，0）；

（3）将点A的坐标代入y＝x+k得，k＝：

由，解得：x1＝﹣，x2＝，

∵点A的坐标为（﹣，0）；

∴点B的横坐标m＝，

∴m＝＝2（）＝2（）2﹣，

∵2＞0，

∴当b＜时，m随的增大而减小，

∵﹣1≤b＜0，

∴≤﹣1，

∴m≥2×（﹣1﹣）2﹣＝3，

即m≥3．