Question

17．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上．BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断EB+DC与DF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质可知：DC=DE，然后由HL证明△CFD≌△EBD，由全等三角形的性质可知CF=EB；
（2）BE+CD=BE+ED＞DB，由BD=DF可知：BE+CD＞DF．

解答 解：（1）∵∠C=90°，
∴DC⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE．
在Rt△CFD和Rt△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{DF=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFD≌Rt△EBD，
∴CF=EB．
（2）∵DC=DE，
∴BE+CD=BE+ED．
∵BE+ED＞DB，BD=DF，
∴BE+CD＞DF．

点评 本题主要考查的全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、三角形的三边关系，证得Rt△CFD≌Rt△EBD是解题的关键．