Question

矩形ABCD中，E为AB中点、F为CD中点，G为CB延长线上一点，连接GE并延长交AC与点H，连接GF，求证：∠HFE=∠EFG．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：证明题

分析：设AC、EF相交于点K，延长FH与DA的延长线相交于点M，延长GH与AD相交于点N，求出△AMH和△KFH相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AM

KF

=

AH

KH

，求出△ANH和△KEH相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AN

EK

=

AH

KH

，然后求出AM=AN，再利用“角边角”证明△AEN和△BEG全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=BG，然后求出DM=CG，再利用“边角边”证明△DFM和△CFG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠M=∠CGF，然后根据平行线的性质可得∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，再等量代换即可得证．

解答：证明：如图，设AC、EF相交于点K，延长FH与DA的延长线相交于点M，延长GH与AD相交于点N，
∵E为AB中点、F为CD中点，
∴EF∥AD，
∴△AMH∽△KFH，△ANH∽△KEH，
∴

AM

KF

=

AH

KH

，

AN

EK

=

AH

KH

，
∴

AM

KF

=

AN

EK

，
∵E为AB中点、F为CD中点，AC是对角线，
∴EK=FK，
∴AM=AN，
在△AEN和△BEG中，

∠NAE=∠GBE=90° AE=BE ∠AEN=∠BEG

，
∴△AEN≌△BEG（ASA），
∴AN=BG，
∴AM=BG，
∵DM=AD+AM，CG=BC+BG，
∴DM=CG，
在△DFM和△CFG中，

DM=CG ∠D=∠C=90° DF=CF

，
∴△DFM≌△CFG（SAS），
∴∠M=∠CGF，
∵EF∥AD∥BC，
∴∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，
∴∠HFE=∠EFG．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，难点在于作辅助线构造出相似三角形和全等三角形．