Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为(  )

(A)1个            (B)2个            (C)3个             (D)4个

Answer 1

C

【解析】根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误；

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AD=，AB=1，∴tan∠ADB=，

∴∠ADB=30°，∴∠ABO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=BO，∴BF=BO，故②正确；

∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，∴∠CAH=15°，∵CE⊥BD，∴∠CEO=90°，∵∠EOC=60°，∴∠ECO=30°，∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，∴AC=CH，故③正确；

∵△AOB是等边三角形，∴AO=OB=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∴DC=OC=OD，∵CE⊥BD，∴DE=EO=DO=BD，∴BE=3ED，故④正确；

∴正确的有3个，

故选C．