Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+20与x轴、y轴分别交于点A、B，OB=2AO，过点C（0，8）做射线CD交直线l于点D，且CD∥x轴．动点P从点O出发沿y轴的正半轴向点B运动，速度为每秒2个单位长度．过点P做x轴的平行线交直线l于点Q．
（1）设点P的运动时间为t（秒），求△PAQ的面积S关于t的函数关系式；
（2）将Rt△OPA沿直线PA折叠得到Rt△O′PA．是否存在t值，使Rt△O′PA的顶点O′恰好落在射线CD上？若存在求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据P点移动的速度与移动时间，可得OP的长，根据函数值，可得相应自变量的值，即PQ的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据轴对称的性质，可得OA=O′A，OP=O′P，根据解方程组，可得答案．

解答：解：（1）如图1：
，
由y=x+20，当x=0时，得OB=20，
由OB2=OA，得OA=10，即A（10，0）．
把（10，0）代入y=kx+20，得10k+20=0．
解得k=-2，
直线l的解析式为 y=-2x+20．
由动点P从点O出发沿y轴的正半轴向点B运动，速度为每秒2个单位长度，得OP=2t，即P（0，2t）．
由过点P做x轴的平行线交直线l于点Q，得-2x+20=2t，解得x=10-t，即Q（10-t，2t）．
S_△PAQ=

1

2

PQ•PO=

1

2

（10-t）2t=-t²+10t，
即△PAQ的面积S关于t的函数关系式S=-t²-10t；
（2）存在t值，Rt△O′PA的顶点O′恰好落在射线CD上，如图2：
，
设O′点的坐标为（a，8），P点坐标是（0，2t），
由Rt△OPA沿直线PA折叠得到Rt△O′PA，得

AO=AO′ BO=BO′

，即

(a-10)2+82 =10① (8-2t)2+a2 =2t②

，
解①得a=16，或a=4，
当a=16时，②化简，得32t=16×16+64，解得t=10，
当a=4时，32t=80，解得t=

5

2

．
综上所述：t=

5

2

或t=10时，Rt△O′PA的顶点O′恰好落在射线CD上．

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了待定系数求函数解析式，利用函数值得出相应自变量的值，三角形的面积公式；（2）利用了轴对称的性质得出方程组是解题关键．