Question

7．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C且与AB平行．点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转90°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，若点E在BC的延长线上，请直接写出线段AD、DE 之间的数量关系；
（2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立；
（3）若AC=3，CD=$2\sqrt{2}$，请直接写出CE的长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DM⊥直线l交CA的延长线于点M，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质可得出∠AMD=45°=∠ECD，CD=MD．再通过角的计算得出∠EDC=∠ADM，由此即可证出△ADM≌△EDC，从而得出DA=DE；
（2）过点D直线l的垂线，交AC于点F，通过角的计算以及等腰直角三角形的性质即可证得△CDE≌△FDA，由此即可得出结论DA=DE；
（3）分两种情况考虑：①点D在点C的右侧时，如同（1）过点A作AN⊥DM于点N，通过解直角三角形即可求出AM的长度，根据全等三角形的性质即可得出结论；②当点D在C点的右侧时，过点A作AN⊥DM于点N，结合（1）（2）的结论以及等腰直角三角形的性质即可求出线段CN个NE的长度，二者相加即可得出结论．

解答 解：（1）过点D作DM⊥直线l交CA的延长线于点M，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∵直线l∥AB，
∴∠ECD=∠ABC=45°，∠ACD=∠BAC=45°，
∵DM⊥直线l，
∴∠CDM=90°，
∴∠AMD=45°=∠ECD，CD=MD．
∵∠EDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠ADM=90°，
∴∠EDC=∠ADM．
在△ADM和△EDC中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠ADM}\\{CD=MD}\\{∠ECD=∠AMD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴DA=DE．
（2）证明：过点D直线l的垂线，交AC于点F，如图2所示．
∵△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°．
∵直线l∥AB，
∴∠DCF=∠CAB=45°．
∵FD⊥直线l，
∴∠DCF=∠DFC=45°．
∴CD=FD．
∵∠DFA=180°-∠DFC=135°，∠DCE=∠DCA+∠BCA=135°，
∴∠DCE=∠DFA．
∵∠CDE+∠EDF=90°，∠EDF+∠FDA=90°，
∴∠CDE=∠FDA．
在△CDE和△FDA中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠DFA}\\{CD=FD}\\{∠CDE=∠FDA}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△FDA（ASA），
∴DE=DA．
（3）CD=$2\sqrt{2}$分两种情况：
①当点D在C点的右侧时，过点A作AN⊥DM于点N，如图3所示．
∵△ADM≌△EDC，
∴DM=DC=$2\sqrt{2}$，CE=AM，
∵AC=3，
∴DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴NM=DM-DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AM=CE=$\sqrt{2}$NM=1；
②当点D在C点的左侧时，过点A作AA′⊥直线l于点A′，过点D作DN⊥直线L交CB的延长线与点N，过点E作EM⊥DM于点M，如图4所示．
∵∠A′DA+∠ADM=90°，∠ADM+∠MDE=90°，
∴∠A′DA=∠MDE，
在△A′DA和△MDE中，有$\left\{\begin{array}{l}{A′D=MD}\\{∠A′DA=∠MDE}\\{AD=ED}\end{array}\right.$，
∴△A′DA≌△MDE（SAS），
∴AA′=EM．
∵∠CAA′=45°，AC=3，
∴AA′=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∵∠DCN=45°，CD=2$\sqrt{2}$，
∴CN=4．
∵∠NEM=45°，EM=AA′=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴NE=3．
∴CE=CN+NE=4+3=7，
综上可知：CE的长为1或7．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）证出△ADM≌△EDC；（2）证出△CDE≌△FDA；（3）分点D在点C的左、右两侧考虑．本题属于难题，（1）（2）难度不大，解决第三小问时，用到前两问的结论，分点D在点C的左、右两侧考虑，在解决该问时，巧妙地利用等腰直角三角形的性质是解题的关键．