Question

9．如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF与AB、AC相交于点D、H，FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H，FC与AB相较于点G．
（1）求证：△GBC≌△HEC；
（2）在旋转过程中，四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根据“ASA”判断△GBC≌△HEC；
（2）当α=45°时，如图，根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=45°，则可计算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判断四边形BCED为平行四边形，加上CB=CE，则可判断四边形BCED为菱形．

解答 （1）证明：∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，
∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，
在△GBC和△HEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{CB=CE}\\{∠BCG=∠ECH}\end{array}\right.$，
∴△GBC≌△HEC；
（2）解：当α=45°时，四边形BCED为菱形．理由如下：
如图，∵∠BCF=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，
而∠E=∠B=45°，
∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，
∴BD∥CE，BC∥DE，
∴四边形BCED为平行四边形，
∵CB=CE，
∴四边形BCED为菱形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是掌握菱形的判定方法．