Question

如图所示，半圆的半径为AB，C为半圆周上一点．
（1）若∠CAB=30°，BC=6，求图中阴影部分的面积；
（2）若AB=2R，则C运动到何处时，阴影部分的面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

分析：（1）阴影部分的面积即是半圆的面积-直角三角形的面积；
（2）要使阴影部分的面积最小，则需直角三角形的面积最大，即斜边上的高最大，显然是到弧的中点时即可．

解答：解：（1）∵∠CAB=30°，BC=6
∴AB=12
∴S_半圆=π×36÷2=18π
∵∠CAB=30°，BC=6
∴AC=

122-62

=6

3

∴S_△ABC=6

3

×6×

1

2

=18

3

∴S_阴影=S_半圆-S_△ABC=18π-18

3

；

（2）阴影部分的面积最小，则直角三角形的面积最大，
即斜边上的高最大，
∴当CA=CB时，S_最小值=

1

2

πR²-R²．

点评：注意：熟练运用锐角三角函数解直角三角形，求得各边的长，根据直角三角形和圆的面积公式进行计算．讨论面积的最值注意进行转换为容易分析的图形的面积．