Question

某建筑物的窗口如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m，当半圆的半径为多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少（结果精确到0.01m）？

Answer 1

分析：先设圆半径、矩形的宽和窗户的面积，再根据给出的已知条件列出它们的函数关系式，根据函数关系式来求最大值．

解答：解：设半圆的半径为xm，矩形的宽为ym，窗户的面积为Sm²．
∵材料的总长为15m，
∴4y+7x+πx=15，
∴y=

1

4

(15-7x-πx)，
从而S=2x•

1

4

(15-7x-πx)+

1

2

πx2=-3.5x²+7.5x．
∵-3.5＜0，
∴S有最大值，
当x=-

7.5

2×(-3.5)

=

15

14

时，
S最大=

-(7.5)2

4×(-3.5)

≈4.02．
答：当半圆的半径约为l.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m²．

点评：本题主要考查二次函数在实际生活中的应用，其中涉及圆的周长、矩形周长的计算和求最值的问题．