题目内容

一个农民栽苹果树，他将树栽成一个正方形．为了给苹果树挡风，他在果园的四周栽上松树（×代表松树，○代表苹果树），如图所示．　

由图示和下表你可以获得一个规律，并且栽任何行（n）苹果树都可以按照这个规律栽苹果树和松树．
苹果树的行数苹果树的棵树松树的棵树
　　 1 　 1 　　8
　　 2 　 4
　　 3 　 9
　　 4
　　 5
　　 n
（1）将上面表格补充完整；
（2）这个农民要扩大果园，栽上足够多行的苹果树，那么苹果树和松树哪种树的棵数增加得快？请说明理由．

解：（1）16；24；16，32；25，40；
n²，8n；

（2）苹果树棵数增加得快．
理由：要栽n²棵苹果树，栽8n棵松树，求其增长快慢的问题可以看作是求其导数大小的问题，分别对其求导可一得到（n²）′=2n，（8n）′=8，所以当2n＞8即n＞4时，苹果树增加的快，由题可知要栽足够多行苹果树＞4，
所以苹果树棵数增加得快．
分析：（1）求苹果树的棵树我们可以从图看作是求四边形面积的问题，由图可以看出苹果树的排列是一个正方形，所以棵树=n×n=n²；
而松树的棵树我们可以看作是求正方形的周长，由图可知边长=2n+1，这里注意了在我们计算边长时四个角的松树我们是数了两遍的，所以周长=8n+4-4=8n．
（2）由一题中我们总结出来的公式可以看出苹果树棵树=n²，松树的棵树=8n，求其增长快慢的问题可以看作是求其导数大小的问题，对苹果树求导=2n，对松树求导=8，所以当n≤4时松树增长的快，当n＞4时苹果树增长的快．所以只要题中的足够多行＞4，就可以看做是苹果树增长的快．
点评：此题主要考验考生对导数及其图形的理解能力，另外细心看图也是一个必不可少的环节．