Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OC．

∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°．

∴∠OCA+∠ACD=90°．

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．

∵∠DAC=∠ACD，∴∠OAC+∠CAD=90°．

∴∠OAD=90°．  ∴AD是⊙O的切线．

（2）连接BG；  ∵OC=6cm，EC=8cm，

∴在Rt△CEO中，OE==10cm．

∴AE=OE+OA=OE+OC=10+6=16(cm)．

∵AF⊥ED，∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．

∴Rt△AEF∽Rt△OEC．  ∴=．即：=．

∴AF=9.6．∵AB是⊙O的直径，   ∴∠AGB=90°．

∴∠AGB=∠AFE．

 ∵∠BAG=∠EAF，

∴Rt△ABG ∽Rt△AEF．

∴=．即：．

∴AG=7.2．

∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4(cm) ．