Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．
（1）求证：BF⊥AF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形？请给予证明．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}&{\;}\\{∠FAB=∠CAB}&{\;}\\{AB=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AF；

（2）解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．理由如下：
∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．