Question

如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G。

（1）写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）请连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长。

Answer 1

解：（1）△AMF∽△BCM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等，（写出两对即可）
以下证明：△AMF∽△BCM
由题知∠A=∠B=∠DME=α，而∠AFM=∠DME+∠E，
又∠BMG=∠A+∠E，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△AMF∽BGM；
（2）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M为AB的中点，
∴，
由△AMF∽△BCM得AF·BG=AM·BM，
∴，
∴ 又AC=BC=·cos45°=4，
∴，CF=4-3=1，
∴。