Question

如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=4

2

，AF=3，求FG的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；
（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

解答：解：（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，

（2）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2

2

，
∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，
∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，
∴∠AFM=∠GMB，
∴△AMF∽△BGM，
∴

AF

AM

=

BM

BG

∴BG=

AM•BM

AF

=

2 2 ×2 2

3

=

8

3

，AC=BC=4

2

cos45°=4，
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CF=4-3=1，
∴FG=

5

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、AC的长度．